Apie matematiką dažniausiai kalbama stereotipais: arba ji – tik tiksliųjų mokslų atstovams įkandamas riešutas, arba humanitarams nereikalinga sritis, arba menų priešingybė. Apie tai, kas šiandien yra matematika, pasakoja VU Matematikos ir informatikos instituto Atsitiktinių procesų skyriaus habil. dr. Rimas Norvaiša.
Matematika yra mūsų žinios apie tam tikras abstrakčias sąvokas ir jų loginius ryšius. Sąvokų tyrimas būdingas matematikai nuo antikos laikų. Šiandien šis bruožas tapo dominuojantis. Paprasčiausi matematikos sąvokų pavyzdžiai yra aibė, skaičius, funkcija, erdvė, begalybė, tolydumas, diskretumas ir t. t. Bėgant šimtmečiams, matematinis šių sąvokų turinys nuolat kito. Dabartinis jų supratimas ir vartojimo būdas matematikoje labai skiriasi nuo to, kuris yra įprastas kasdieniniame gyvenime ir bendrinėje kalboje.
Svarbiausias šiandienės matematikos bruožas yra tai, kad jos tyrimo objektai nėra realaus pasaulio dalis. Matematiniai objektai yra abstrakčių sąvokų apimties (ekstensijos) elementai. Skirtingai nuo realaus pasaulio objektų, matematinis objektas vienareikšmiškai apibrėžiamas savo savybėmis, o apie bet kuriuos du matematinius objektus visada galima pasakyti, ar jie yra lygūs, ar ne, bent jau iš principo. Pavyzdžiui, geometrinė tiesė nėra tapati jokiam realaus pasaulio objektui; geometrinė tiesė, nusidriekusi be galo ir be pradžios, neturi nei storio, nei pločio. Skamba paradoksaliai, bet realusis skaičius neturi nieko bendra su realiuoju pasauliu. Šiuolaikinėje matematikoje realieji skaičiai yra aksiomomis apibrėžtos aibės elementai.
Jei mokslu vadinsime patikimas žinias apie realiąją tikrovę, tai ką bendra su mokslu gali turėti čia apibūdinama matematika? Taip, šia prasme matematika nėra mokslas. Tačiau matematika, pati nebūdama realaus pasaulio pažinimas, suteikia tokiam pažinimui tai, kas svarbiausia – sąvokas. Mokslą kuria ne empiriniai faktai, o sąvokos. Todėl kitu atžvilgiu šiandienos matematika yra mokslinio pažinimo šaknys. Kadaise tokiomis šaknimis mokslui buvo filosofija, tada dar vadinta mokslų karaliene. Dabar šį titulą iš filosofijos perėmė matematika.
Skirtingai nuo gamtos mokslų teiginių, kiekvienas korektiškai formuluojamas matematikos teiginys yra teisingas arba klaidingas (trečio varianto nėra). Teiginių teisingumo kriterijus matematikoje yra ne jų atitiktis realybei, bet loginis pagrįstumas. Pirminiai matematikos objektai ir teiginiai formuluojami kaip aksiomos. Pavyzdžiui, teiginys, kad tarp geometrinės tiesės taškų ir realiųjų skaičių aibės elementų yra abipusė vienareikšmė atitiktis, yra aksioma. Gamtos mokslų atstovo požiūriu ši aksioma gali atrodyti kontroversiška, nes tolydumą išreiškiantis geometrinis kontinuumas tapatinamas su aibe, sudaryta iš atskirų elementų (realiųjų skaičių). Šią kontroversiją stiprina ir tai, kad realiuosius skaičius galima papildyti naujais matematiniais objektais: hiperrealiais, siurrealiais ir kitais skaičiais. Kita vertus, fizikoje laikas tapatinamas su realiųjų skaičių aibe. Dar sunkesnis klausimas, ar toks tapatinimas yra pagrįstas siekiant kaip galima adekvačiau apibūdinti realaus pasaulio laiką. Tas pats klausimas prasmingas ir kitoms fizikoje vartojamoms matematikos sąvokoms.
Kiekviena matematinė sąvoka gali tapti pasaulio pažinimo priemone. Mokslo istorija žino daugybę pavyzdžių, kai matematikų galvose gimusios matematinės sąvokos po daugelio metų tampa gamtos mokslų pažinimo instrumentais (grupių teorija – kvantinėje mechanikoje, Riemanno geometrija – reliatyvumo teorijoje ir t. t.). Visuomenės moksluose atitinkamai interpretuojama matematinė sąvoka ne tik tampa pažinimo instrumentu, bet ir pati kuria realybę. Pavyzdžiui, bendroji pusiausvyra ekonomikoje yra tik tam tikru būdu interpretuota matematinė sąvoka, o šios sąvokos ir jos ekstensijos tyrimas yra neoklasikinės ekonomikos tyrimo objektas. Gilus ekonomikos supratimas yra neįmanomas neišmanant šiuolaikinės matematikos.
Matematikos tyrimais dažnai siekiama nustatyti, ar tam tikri matematiniai objektai yra lygūs (pavyzdžiui, ar lygties sprendinys yra lygus tam tikram skaičiui). Taip pat gali būti labai įdomu, ar tarp matematinių objektų yra toks, kuris turi tam tikras savybes (pavyzdžiui, dažnai pakanka žinoti, kad lygties sprendinys egzistuoja, nežinant jo konkrečios reikšmės). Šių ir kitų tikslų siekiama pasitelkiant matematinį įrodymą. Formaliai kalbant, matematinis įrodymas yra loginio ryšio tarp sąvokų nustatymas. Neformaliai kalbant, įrodymo žinojimas suteikia tai, kas matematikui yra svarbiausia: supratimą, kodėl matematinis teiginys yra teisingas ar klaidingas. Todėl ir įrodymas turėtų būti toks, kurį gali suvokti konkretaus žmogaus protas. Tokio įrodymo paieška remiasi ne tik ir ne tiek matematine intuicija, kiek matematinių objektų grožio ir harmonijos suvokimu.
Jei tai, kas čia rašoma apie matematiką, atrodo nauja ir netikėta, tai nenuostabu. Per pastaruosius du dešimtmečius Lietuvoje iš viešosios erdvės laipsniškai išnyko tekstai apie matematiką. Juos pakeitė, matyt, visuomenei labiau aktualūs tekstai apie numerologiją, astrologiją, chiromantiją ir kitus panašius dalykus. Tuo tarpu dabartinė mokyklinio ugdymo programa net nekelia sau tikslo supažindinti moksleivius su šiandienos matematika. Tad auga karta, kuri vis mažiau žino apie vieną žmonijos kultūros dalį – mokslinio pažinimo šaknis.
Komentarų: 6
2012-11-07 14:01
kita nuomonėKeletas kritinių pastabų “stiklo karoliukų žaidimo” koncepcijai:
1 “šiandienės matematikos bruožas yra tai, kad jos tyrimo objektai nėra realaus pasaulio dalis” – ką manyti apie taikomosios matematikos sritis (finansų, draudos matematika), ir teorinę kombinatorikos sritį etc. ?
2. “realusis skaičius neturi nieko bendra su realiuoju pasauliu”-realaus skaičiaus prireikė formalizuojant Niutono dinamiką taigi realusis skaičius tiek bendra turi su gamta, kaip gėlės skaitmeninė nuotrauka su pačia gėle.
2012-11-07 14:07
kita nuomonė3. “kiekvienas korektiškai formuluojamas matematikos teiginys yra teisingas arba klaidingas (trečio varianto nėra)” čia piktnaudžiaujama žodžiu “korektiškai”, t.y., korektišku vadinamas teiginys, kuris arba teisingas arba klaidingas. Jau beveik 80 metų matematikams žinomi formalūs teiginiai, kurių negalima nei įrodyti, nei paneigti.
4.”pusiausvyra ekonomikoje yra tik tam tikru būdu interpretuota matematinė sąvoka” – iki šiol buvau tikras, kad “pusiausvyra” yra fizikos savoka, naudota dar graikų, pvz., Archimedo dėsniui pagrįsti.
2012-11-08 17:11
Dar kita nuomoneStraipsnyje daug vidinių prieštaravimų (nors jo autorius matematikas :-) ). Vienur teigiama, kad matematika mokslų karalienė, kitur – kad ji yra pasaulio pažinimo priemone (aka instumentas). Priemonė negali būti karalienė, ir atvirkščiai (Fiolosofija, mano supratimu, vadinta mokslų karaliene todėl, kad [i]nuo jos prasidėjo [/i] mokslo raida, t.y. iš pradžių buvo filosofija, vėliau atsirado gamtos ir kiti “specializuoti” mokslai).
Apskritai, matematika nėra vienintelė sąvokų “gimdytoja’ – moksle yra pilna sąvokų, kurios atsirado ne matematikų galvose.
Dėl bendrosios ekonominės pusiauvyros ekonomikoje: pirma, sutinku su kitu komentatoriumi, teigusiu , kad ši sąvoka (ir ne tik ji) atkeliavo į ekonomiką iš fizikos, tik jos abstrakčiai išraiškai pasitelkta matematikos kalba; antra, bendrosios ekonominės pusiauvyros teorija [b]nesukūrė [/b] [i]realybės[/i] (cf. “atitinkamai interpretuojama matematinė sąvoka ne tik tampa pažinimo instrumentu, bet ir pati kuria realybę”), bent jau ekonomikos (ūkio) atžvilgiu. Ji tapo tik ekonomikos mokslo realybe, bet ne ekonomine realybe. Tai, žinoma, nepaneigia tos teorijos (ir iš jos gimusių CGE modelių) tam tikro naudingumo, analizuojant ekonominius procesus ir vertinant impulsų ekonominėse sistemose ar šokų joms rezultatus.
2012-11-08 17:16
Taigi“[i]Teiginių teisingumo kriterijus matematikoje yra ne jų atitiktis realybei, bet loginis pagrįstumas”[/i] – aha, tai va, kodėl mokslu laikoma ir teologija! :-)
2012-11-08 18:21
bioteologijaPritariu #4 išvadai, kad teologija nė kiek ne blogesnis mokslas
už kitus: iš pasirinktos pradinių teiginių visumos (Biblijos) daromos išvados, besiremiančios logika, sveiku protu ir kitais autoriais. Palyginti su ja, evoliucinė biologija atrodo skurdokai: pradžioje pasirenkamas teiginys, kad sudėtingi kūriniai išsivysto iš paprastesnių, o visas tolesnis darbas įrodinėti pasirinktą aksiomą. Palyginti: matematikai aksiomų neįrodinėja, nei teologai Biblijos teigių neįrodinėja.
2012-11-09 13:20
O je?[quote name=”bioteologija”]Pritariu #4 išvadai, kad teologija nė kiek ne blogesnis mokslas
už kitus: iš pasirinktos pradinių teiginių visumos (Biblijos) daromos išvados, besiremiančios logika, sveiku protu ir kitais autoriais. Palyginti su ja, evoliucinė biologija atrodo skurdokai: pradžioje pasirenkamas teiginys, kad sudėtingi kūriniai išsivysto iš paprastesnių, o visas tolesnis darbas įrodinėti pasirinktą aksiomą. Palyginti: matematikai aksiomų neįrodinėja, nei teologai Biblijos teigių neįrodinėja.[/quote]
Ale kokia “moksliska” tos teologijos metodologija: daryti isvadas besiremiant “sveiku protu”(sic!) ir netgi…kitais autoriais (sic!) :lol: . Pastarasis atvejis iki skausmo pazistamas: dar prisimenu laikus, kai pagriindiniu ir neatremiamu argumentu buvo kitu autoriu, tiksliau – autoritetu, pacitavimas – “taip sake Marksas”, “”sitaip rase Leninas” ir pan. :lol:
Iskalbingas ir tas remimasis “sveiku protu”” (aka “”common sense” = paprastas, vulgarus, iprastas, etc). Remiantis juo, turetume pripazinti kad tai Saulle sukasi apie Zeme, o ne atvirksciai (kas tik nesveiko proto ar nepastabus zmogus gali to nematyti: ryte Saule poakyla vienoje ouseje, vakare leidziasi kitoje :-) ) , o jau matematikai su savo “nesveiko proto” pagimdytais menamais, irracionaliais ir hiperrealiais skaiciais turetu isvis pritilti – kad kas neatpazintu ju esant nesveikais :D
Beje, idomus ir tas akmenelis i evoliucionistu darza: ar isties teologai laiko,kad zmogus (ir visi kiti gyvunai), toks koks jis yra dabar, atsirado is pat pradziu? Kaip tai dera su paleontologijos moklsu, kur “telpa” visi tie trilobitai ir pan.? Gal tik i “nesveiko proto” pagindytu vaizdiniu kategorija? :D